2006-06-02 [長年日記]
■だからスペースキーが長すぎるってば
に変化あり、とアンテナが教えてくれた。
"This summer"となっている"Optimus Upravlator"って何だろう?
変なマウスだ。
前のエントリ
■『1=0.9999…… ?』から『極限で使われる＝は等号ではないのではないか?』や『テトラちゃんとハーモニック・ナンバー』へ
あぁ、そういえば、『無限論の教室 (講談社現代新書)(野矢 茂樹)』の中で、1=0.9999…… にまつわるお話が出てくるんだっけ。
この話は検索すれば色々と出てくるし、今さら改めて書くことは特にないんだけど、『無限論の教室 (講談社現代新書)(野矢 茂樹)』の中にこういう展開があるんだよ。
x=0.9999…… とする。
両辺10倍する。
10x=9.9999……
差をとる。
9x=9
x=1
これ、1=0.9999…… に関する話として常に出てくるけど、扱いに困る難物なのではなかろうか? などと最近思った(『無限論の教室 (講談社現代新書)(野矢 茂樹)』を非難しているわけじゃい。『オイラーの贈物』 asin:4480086757 でも冒頭に出てくるし)。
x = 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ……
を考える。これは収束しない。もう少し正確に書くと「コーシーの定義を満たすような収束値がない」となるだろうか。
さて、
x = 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ……
両辺に-1を足す。
(-1) + x = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ……
x - 1 = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + ……
右辺が -x の形になっているので、
x - 1 = -x
2x = 1
x = 1 / 2
……おや? となる。
なんでこうなるの? と考えよう。
難しい話じゃない。
無限数列の和に定数をかけたり、定数を足し引きしたりすることが許されるのは「無限数列の和が収束値を持つときだけ」だから。
収束しない無限数列に定数との四則演算をするのはそもそも「いけないこと」「おかしな結果を招くこと」なのだ。
で、最初の話に舞い戻る。
x=0.9999…… を10倍したり引いたりするには、それが収束することが条件なわけ。ところがx=1だということを説明するのに、収束することが前提条件な定数との演算をしているわけで……。
でもこれはしょうがない話でもある。
\(\displaystyle~~\sum_{i=1}^{\infty}~\frac{9}{10^n}~=~1\)
になるようにコーシーは収束を定義したのだし、このへんの因果は「卵が先か鶏が先か」ってなもんである。
さて、以上を踏まえてこのblogの過去エントリ、
とか、
の p16 の注釈2を読んでみよう。
(なんだい。結局自分の過去エントリの宣伝なのかよ?)
(そうでもないよ。0.9999…… を10倍して引いて、ってのが「あらかじめ収束することが判っている時だけ許される」ってのは本当に最近気がついたんだから)
(ふむ。「分数」、「循環小数」、「級数の収束(の定義)」、こいつらはより判りやすいものから学校で習うんだな? 全部習って、それからえらい時間をかけて理解に辿りつく。その道筋はなんか、ぐるっと一周して戻ってくるようなイメージだな)
(うん。「ぐるっと一周して戻ってくる」イメージってのは面白いね。1=0.9999…… は確かに昔から納得できていることなんだけど、その考え方はどんどん変わっていくんだ。でもそれがさ、1つの"正解"があってそこに近づいていくってイメージじゃないんだよね。うんうん。「ぐるっと一周する」か。なんかいいなそれ)
余談
私は分数をならった直後に電卓で遊んでいて、「1/3 を小数で表示すると 0.3333…… になるけど、それに 3 をかけても 0.9999…… になってどこまでいっても 1 にならないじゃん! なんで?」と思った口である。
誰にも話さなかったのか、話しても相手にしてもらえなかった(説明してもらえなかった?)のかの記憶は曖昧。
もうちょっと続く。
へ。
■クロサギ
TVを点けたらたまたまやってたからつい見たよ。
挿入歌が流れた瞬間、つい腹を抱えて笑ってしまった。漫画原作があるとギャップが苦しい。
ドラマなんて『ケイゾク』以来見てないしなー。