2012-05-25 [長年日記]
■モンティ・ホール問題、その祖先と子孫
まずは一般によく知られている形式をWikipediaから。
「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアの内ヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。プレイヤーはドアを変更すべきだろうか？」
モンティ・ホール問題 - Wikipedia
この形式の設問には、司会の振る舞いについての前提が曖昧だという問題があって、↓の漫画でも確認できる。
- 作者: つじ 要
- 出版社/メーカー: 講談社
- 発売: 2011-02-09
- ASIN: 4063762556
- メディア: コミック
この解答は書かない。
- 作者: 結城 浩
- 出版社/メーカー: SBクリエイティブ
- 発売: 2011-02-26
- ASIN: 479736100X
- メディア: 単行本
あたりをどうぞ。
以降モンティ・ホール問題については十分理解しているかどうかが問われる問題と、十分理解していても難しい問題を「数学セミナー」連載の「確率パズルの迷宮」、2012年7月号掲載記事「逆確率の罠」から引用する。
確率の理解を探る―3囚人問題とその周辺 (認知科学モノグラフ 10)
- 作者: 市川 伸一
- 出版社/メーカー: 共立出版
- 発売: 1998-05-01
- ASIN: 4320028600
- メディア: 単行本
に掲載されているらしいので読みたいところだけど、マーケットプレイスのプレミア価格……。
まずは曖昧さを無くした、同種の問題。
A,B,Cの3人の死刑囚が独房に入れられている．ときの為政者のはからいにより，3人のうち1人は(等確率で無作為に選ばれて)釈放されることになり，残り2人は処刑されることになった．囚人たちもこのことを知らされているが，誰が釈放されるかまでは知らされていない．
処刑の数日前，Aは独房を見回りに来た看守に対して，誰が釈放されるか教えてほしいと頼んだが，拒否された．しかし諦めず，
「だったら，BとCのうち処刑される者の名前を1人だけ教えてくれ．3人のうち2人が処刑されるから，BとCのうち少なくとも1人が処刑されるのは確実だ．それなら，そのうちの1人の名前を聞いたところで俺が処刑されるかどうかとは無関係だから，教えてくれてもいいじゃないか．なぁ，こうしよう．Bが釈放されるならCだといってくれ．Cが釈放されるならBだといってくれ．俺が釈放されるなら，BというかCというかはコインを投げて決めてくれればいい．もちろん，いまコインを投げたら俺が釈放だとわかってしまうから，答えは明日教えてくれればいい．お願いだ．頼む．」
といってまんまと看守を説得した．生真面目な看守は翌日，Aのいった通りのやり方で答えを決め，Cが処刑されることをAに教えてくれた．
看守の誤算だったのは，実はAとBの間では密かに情報を伝達しあう方法ができあがっていて，Aは，上で述べた看守とのやりとりの一部始終をBに教えてしまったことであった．
さて，Cが処刑されるという情報を得て，AもBも，自分が釈放される確率が1/3から1/2に上がったと喜んだ．釈放される確率に関するAとBの結論は正しいであろうか．
下記のような抽選会が行われた．その中の(1)から(7)の各時点において，あなた(中村さん)のクジが「あたり」である確率を，それまでの司会者の発言(もちろん，100%信じるものとする)をもとに計算すると，それぞれいくらとなるか。
部屋の中には，司会者を除き100人の人がいて，あなた(中村さん)もその1人である．クジは101本あって，その中の1本だけがあたりである．また，あなただけは目隠しをさせられる．
司会者「今日は渡辺さんだけが2本，ほかの人は1本ずつ引いてもらいます」(1)
司会者「みんながクジを引きましたが，まだだれも中を見ていません」(2)
司会者「さて，みんなが自分のクジを開いて見ましょう．中村さんだけは目隠しをしているので見えませんね」(3)
司会者「さて，はずれた人は1人ずつ部屋から出てもらいます．中村さんはこのままお待ちください」
司会者「さて，はずれた人は1人ずつ部屋から出てもらいます．中村さんはこのままお待ちください」
98人出て行ったところで，
司会者「ここでストップします．いま，まったくランダムな順番で98人が出たところです」(4)
司会者「ところで，ここに残った人は，クジを2本引いた渡辺さんと目隠しをした中村さんだけでした」(5)
司会者「渡辺さんの持っている2本のクジのうち，はずれのクジを私がいただきましょう」(6)
司会者「ては，中村さん，目隠しをとってください．ご覧のとおり，結局，中村さんは外れで，渡辺さんがあたりでした」(7)
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1つ目の問題。
モンティ・ホール問題と同じ。
看守の話を聞く前はA,B,Cの釈放される確率は同じ1/3。
看守の話を聞いても、Aが釈放される確率は1/3のままで変わりない。
一方、Cが釈放される可能性が0になったため、Bが釈放される確率は、1-1/3=2/3となる。
したがってA,B両者とも結論は間違い。
つまり、Aが自分で言った「そのうちの1人の名前を聞いたところで俺が処刑されるかどうかとは無関係だから，教えてくれてもいいじゃないか」が正しい。Bの名前がでてきても、Cの名前がでてきても、Aにとっては何の情報にもならない。Aが釈放される確率は1/3のまま。
いっぽうBから見ると、Cの名前が出たことで「AとBが処刑でCが助かる」目が無くなったことでその分の1/3が「Bが釈放される確率」に加算されたことになる。
といったところか。
2つ目の問題。
(1)〜(3)は1/101。
(4)はモンティ・ホール問題と同じ。1/101で変わりない。
(5)が難しい。1/199。
(6)もモンティ・ホール問題と同じ。1/199と変化しない。
(7)の段階で0。
(5)……難しい。ベイズ定理に因らない計算でこの答えを導き出せない(解答はベイズ定理を使っている)。もうしばらく考えてみたい。
渡辺さんが「当たり」であるパターン。
自分が「当たり」で、残ったのが渡辺さんであるパターン。
の2とおりで考えるといいと思うのだけど……。
(追記)
続きあり。