■3囚人問題の話 続き [etc]

モンティ・ホール問題の話

の続きで、

Ａの質問、Ｂの質問 - Log of ROYGB

の数式化。

さらにBが看守に同じ質問をしたら、またもやCという答えが返ってきたときに条件付き確率はどう変化するか? という問題。

求めたいものは、\(P(Aが釈放~∣~Aが尋ねて看守がCと答える~\cap~Bが尋ねて看守がCと答える)\) であろう。
直感からこれは1/2だろうと思われるが、それが正しいことをベイズ定理から確認したい。

ベイズ定理より、
\(\displaystyle~P(Aが釈放~|~Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)~=~\frac{P(Aが釈放)~\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)}{P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)}\)
となる（文がさすがに長いので略して書いた）。

\(P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)\) は、Aが釈放の時にBが質問すると必ずCと答えることから、\(P(Aが尋ねてC~|~Aが釈放)\) と等しくなり、
\(\displaystyle~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)~=~P(Aが尋ねてC~|~Aが釈放)~=~\frac{1}{2}\)
となる。

\(P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)\)
は、
\(\displaystyle~\sum_{i}~P(iが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|iが釈放)\)
に等しくなる。
\(\displaystyle~P(Aが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|Aが釈放)~=~\frac{1}{3}\cdot~\frac{1}{2}~=~\frac{1}{6}\)

\(\displaystyle~P(Bが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|Bが釈放)~=~\frac{1}{3}\cdot~\frac{1}{2}~=~\frac{1}{6}\)

\(\displaystyle~P(Cが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|Cが釈放)~=~\frac{1}{3}\cdot~0\)
なので、
\(\displaystyle~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)~=~\frac{1}{6}~+~\frac{1}{6}~+~0~=~\frac{1}{3}\)
となる。

よって、
\(\displaystyle~P(Aが釈放~|~Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)~=~\frac{P(Aが釈放)~\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)}{P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)}~=~\frac{\frac{1}{3}~\cdot~\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}~=~\frac{1}{2}\)
で、直感と等しいことが確認できた。