■3囚人問題の話 続き [etc]

モンティ・ホール問題の話

の続きで、

Ａの質問、Ｂの質問 - Log of ROYGB

の数式化。

さらにBが看守に同じ質問をしたら、またもやCという答えが返ってきたときに条件付き確率はどう変化するか? という問題。

求めたいものは、$P(Aが釈放~∣~Aが尋ねて看守がCと答える~\cap~Bが尋ねて看守がCと答える)$ であろう。
直感からこれは1/2だろうと思われるが、それが正しいことをベイズ定理から確認したい。

ベイズ定理より、
$\displaystyle~P(Aが釈放~|~Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)~=~\frac{P(Aが釈放)~\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)}{P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)}$
となる（文がさすがに長いので略して書いた）。

$P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)$ は、Aが釈放の時にBが質問すると必ずCと答えることから、$P(Aが尋ねてC~|~Aが釈放)$ と等しくなり、
$\displaystyle~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)~=~P(Aが尋ねてC~|~Aが釈放)~=~\frac{1}{2}$
となる。

$P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)$
は、
$\displaystyle~\sum_{i}~P(iが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|iが釈放)$
に等しくなる。
$\displaystyle~P(Aが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|Aが釈放)~=~\frac{1}{3}\cdot~\frac{1}{2}~=~\frac{1}{6}$

$\displaystyle~P(Bが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|Bが釈放)~=~\frac{1}{3}\cdot~\frac{1}{2}~=~\frac{1}{6}$

$\displaystyle~P(Cが釈放)\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)|Cが釈放)~=~\frac{1}{3}\cdot~0$
なので、
$\displaystyle~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)~=~\frac{1}{6}~+~\frac{1}{6}~+~0~=~\frac{1}{3}$
となる。

よって、
$\displaystyle~P(Aが釈放~|~Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)~=~\frac{P(Aが釈放)~\cdot~P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC~|~Aが釈放)}{P(Aが尋ねてC~\cap~Bが尋ねてC)}~=~\frac{\frac{1}{3}~\cdot~\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}~=~\frac{1}{2}$
で、直感と等しいことが確認できた。